思维教学（四）：诸法归一一以贯之

《论语》中孔子多次提到“一以贯之”。

子曰：“参乎，吾道一以贯之。”曾子曰：“唯。”子出，门人问曰：“何谓也？”曾子曰：“夫子之道，忠恕而已矣。” 

子曰：“赐也！汝以予为多学而识之者与？”对曰：“然，非与？”曰：“非也。予一以贯之。”

任何学科的学习都不能仅靠“多学而识之”（学了很多然后记住它），而应该“一以贯之”（用一种原则去贯穿它）。当然，这个“一”有不同的层次，抽象的程度越高，可贯穿的东西就越多。

解题也是一样，要寻求“一”去贯穿一个问题、一类问题、一切问题。也就是要做两件事，诸法归一和一以贯之，前者是抽象概括，从特殊到一般，后者是逻辑推理，从一般到特殊，这两样正是最重要的两大数学核心素养。

试举一例，看如何在解题中进行“诸法归一”和“一以贯之”的引导。

（2018扬州卷27题）问题呈现：

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．

方法归纳：

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．

问题解决：

（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　  ；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；

思维拓展

（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

师：网格中可以确定的是什么数量？一般利用什么求值？

生：格点线段的长可以利用勾股定理求值。

师：图1中的∠CPN与什么格点线段有关？

生：∠CPN是CE、DN相交而成的。

师：三角函数值要在什么图形中求呢？

生：当然是在直角三角形中啦！

师：你有什么想法吗？

生：构造直角三角形。

师：图1中的关键条件和关键图形是什么？

生：关键是CE、DN两条线，因为它们决定∠CPN的大小。

师：原图模型不完整，需要进行完形构造，是如何构造的？

生：把CE和DN其中一条线段平移，与另一条线段组成直角三角形。

师：为什么要平移呢？

生：保持夹角不变呀。

师：很好，按照这个思路画出图形，除了题中的画法，如果不受网格限制，看你还能想到多少种。

生：

师：还有其它画法吗？

生：……好像没有了。

师：谁能用一句话提炼概括一下刚才的几种构造方法共同点？

生：把其中一条线段平移使之与另一条线段拼成一个直角三角形。

师：是把图中任意一条线段平移吗？

生：……必须是格点线段，否则不好计算长度。

师：真的没有其它方法了？看看我这样行不？

你发现了什么？

生：可以同时平移两条线段，构成格点三角形，就能把∠CPN通过平行线转化到格点直角三角形中，从而求出∠CPN的三角函数值。

师：那么有多少种构造方法呢？

生：……似乎是无数种！

师：对啊，若没有网格大小的限制，可以有无数种构造方法，只要把两条格点线段平移拼成直角三角形就行，那么较简单的方法是什么？

生：一条线段不动，把另一条线段平移与它一端重合，就可以组成格点直角三角形，这样把所求角进行一次转化就可以了，否则所求角要进行两次转化。

师：后面的问题还难吗？请画出较简单的构造方法。

然后，绝大部分同学轻松地画出了多种不同的构造图形（注意下为什么平移CM而不是CP）。如第（3）小题：

在探讨第（1）小题时，是诸法归一，解决后面的问题时，是一以贯之，图形虽不一样，构造方法完全一样。而且本题的前后问题属于同质问题，这类问题的解决策略在《中考数学思维方法与解题策略》一书中称之为“移花接木”，可以用前题的结论或方法解决后题。顺便提一下，《中考数学思维方法与解题策略》基本售完，想要的朋友抓紧最后的机会。

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参考阅读：

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